【文化课向】一些参考答案里不太会写的一些中考向数学题目的奇怪解法

本着实用主义的原则，本文主要涉及一些不那么难搞的非常规做法，主要是【非常人类智慧而难以想到/不易模仿的】和【不会人类智慧做法的替代做法】

因为实力原因本文可能出现事实错误，欢迎各位神仙来喷。。。

初中范围内不可用的（如求导和不等式）不作涉及。

明年 6 月之前应该都会更新吧

韦达定理爆草系数关系不等式

是个数学课上的奇怪想法，先上题

二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c(a<0)$满足：

• 对称轴为直线 $x=1$

• $f(-1)<0$

• $f(1)>0$

求证 $2c<3b$

本题比较【】，对称轴得 $a,b$ 关系之后用 $f(-1)<0$ 的变形结论随便写写就没了，然而我竟然第一眼不会（丢人.jpg）

但是对于像我这种一眼不会人可能想不到代入 $f(-1)<0$ 而选择代入 $f(1)$ 之类的奇怪东西，怎么救呢？

其实是另外一道题我 3min 不会所以才来研究这种奇怪写法。。。

考虑把结论移项，除 $a$，得 $\dfrac{2c}{a}-\dfrac{3b}{a}>0$

设两根为 $x_1,x_2$，上韦达定理

$2x_1x_2+3(x_1+x_2)>0$

接下来的变形算是比较技巧性的，但老实说也不难

把 2 除掉，$x_1x_2+\dfrac32(x_1+x_2)>0$

然后添项法暴力因式分解 $(x_1+\dfrac32)(x_2+\dfrac32)>\dfrac94$

带着分数多不好看 $(2x_1+3)(2x_2+3)>9$

然后我们知道 $f(-1)<0$，即 $x_1>-1$，然后根据对称轴判断即得 $x_2<3$

我们对柿子进行简单的放缩（这个很初级。。。）

$\text{LHS}>(2\times(-1)+3)\times(2\times3+3)=9$

证完了。

可以看到基本就循着本能往下写就完了，我自己写这东西的时候反倒是 $\LaTeX$ 和中文之间加空格给我造成的麻烦大于推柿子的麻烦。。。

我们注意到其与【参考答案】的方法的结论相同主要是因为都用了 $f(-1)$，但是显然韦达定理用起来非常自然。然而在一般情况下拿韦达定理草的时候其实会得到更优的解，这正是他的优越性

对于一些更 nb 的题就更直接带进去算就完了，亲测往往快于人类智慧做法，而且适用范围极广，大多数二次函数题都会给特殊点的捏。

时间所限不举更多例子，但是不能理解为啥这种方法一般参考答案都不写。。。

还有一些参考答案里少见的做法，等发现他们的普适性之后再更。